Der Weg von einer Funktion zur Umkehrfunktion

1. Beispiel:

$$f(x)=x^{n}; \mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}^{+}_{0}; \mathbb{W}_{f}=\mathbb{R}^{+}_{0}; n \in \{gerade Zahlen\}$$

1. Aufl"osen nach x

$$\begin{eqnarray*} y=x^{n}\\ x=\sqrt[n]{y}\\ \end{eqnarray*}$$

2. Vertauschen der Variablen

$$f^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}; \mathbb{D}_{f^{-}}=\mathbb{R}^{+}_{0}; \mathbb{W}_{f^{-}}=\mathbb{R}^{+}_{0};$$

Wertebereich der Funktion wird Definitionsbereich der Umkehrfunktion, Wertebereich der Umkehrfunktion neuer Definitionsbereich der Funktion.

Satz:

Wenn eine Funktion streng monoton fallend (steigend) ist, dann ist sie umkehrbar.

2. Beispiel:

$$f:x \mapsto a^{x}; a \in \mathbb{R}^{+}; x \in \mathbb{R}; \mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}; \mathbb{W}_{f}=\mathbb{R}^{+};$$

Nach x aufl"osen

$$\begin{eqnarray*} y=a^{x}\\ \log_{a}{y}=\log_{a}{(a^{x})}\\ \log_{a}{y}=x\log_{a}{(a)}\\ \log_{a}{y}=x \end{eqnarray*}$$

Vertauschen der Variablen

$$y=log_{a}{(x)}$$

$$f^{-1}:x \mapsto \log_{a}{(x)}; \mathbb{D}_{f^{-}}=\mathbb{R}^{+}; \mathbb{W}_{f^{-}}=\mathbb{R};$$