Beispiele

1. $(a_n)=\{1;3;5;7;9;...\}$
   d.h. $a_1=1; a_2=3; a_3=5; ...$

   a)

   Allgemeines Bildungsgesetz der Folgenglieder: $a_n=2n-1; n \in \mathbb{N}$
   Explizite Form des Bildungsgesetzes.

   b)

   Rekursive Form des Bildungsgesetzes: $a_1=1; a_{n+1}=a_n+2; n \in \mathbb{N}$
   Vorsicht: Die rekursive Form ben"otigt stest ein Startglied $a_1$!

2. $(b_n)=\{\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};...\}$
   

   explizit:

   $b_n=\frac{n}{n+1}$

   rekursiv:

   $b_1=\frac{1}{2};$

   $$\begin{eqnarray*} b_{n+1}=b_n+\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}\\ =b_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$$
   

   
   

   
   

3. $(c_n)=\{2;\frac{3}{2};\frac{4}{3};\frac{5}{4};...\}$
   

   explizit:

   $c_n=\frac{n+1}{n}$

   rekursiv:

   $c_1=2;$

   $$\begin{eqnarray*} c_{n+1}=c_n+\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}\\ =c_n-\frac{1}{n^2+n} \end{eqnarray*}$$
   

   
   

   
   

4. $(d_n)=\{4;1;0;1;4;9;...\}$
   

   explizit:

   $d_n=(n-3)^2$

Die Folge $(a_n)$ und die Folge $(b_n)$ sind streng monoton steigend.