Differenzkriterium der Monotonie

$(a_n)$

$$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n=(2n+1)-(2n-1)\\ =2n+1-2n+1\\ =2 \end{eqnarray*}$$

$2>0 \Rightarrow (a_n)$ ist streng monoton steigend.

$(b_n)$

$$\begin{eqnarray*} b_{n+1}-b_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}\\ =\frac{(n+1)^2-n(... ...\\ =\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+2)(n+1)}\\ =\frac{1}{(n+2)(n+1)} \end{eqnarray*}$$

$\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0$ f"ur alle $n \in \mathbb{N}$.

$\Rightarrow (b_n)$ ist streng monoton steigend.

$(c_n)$

$$\begin{eqnarray*} c_{n+1}-c_n=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}\\ =-\frac{1}{n^2+n} \end{eqnarray*}$$

$\frac{1}{n^2+n}<0$ f"ur alle $n \in \mathbb{N}$.

$\Rightarrow (c_n)$ ist streng monoton fallend.