Vor"ubung zur $\varepsilon$-Umgebung

Folge:

$(d_n)=(n-3)^2$

Monotonieuntersuchung

Differenzkriterium

$$\begin{eqnarray*} d_n-d_{n+1}=(n-2)^2-(n-3)^2\\ =n^2-4n+4-n^2+6n-9\\ =2n-5\\ \end{eqnarray*}$$

Fallunterscheidung

1. $$\begin{eqnarray*} 2n-5>0\\ n>\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   $\Rightarrow$ f"ur $n>2.5$ ist $(d_n)$ streng monoton steigend.

2. $$\begin{eqnarray*} 2n-5<0\\ n<\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   $\Rightarrow$ f"ur $n<2.5$ ($n=1; n=2$) ist $(d_n)$ streng monoton fallend.

$(d_n)$ steigt unbegrenzt an, ab welcher Platzziffer $n_0$ sind die Folgenglieder gr"oßer als $10000$?

$$\begin{eqnarray*} d_n>10000\\ (n-3)^2>10000\\ n>\sqrt{10000}+3\\ \vert n-3\vert>100 \end{eqnarray*}$$

1. Fall $n>3$

$$\begin{eqnarray*} n-3>100\\ n>103 \end{eqnarray*}$$

2. Fall $n<3$

$$\begin{eqnarray*} -(n-3)>100\\ n-3<-100\\ n<-97 \end{eqnarray*}$$

2. Fall unl"osbar f"ur $n \in \mathbb{N}$!

$\Rightarrow d_n > 10000$ f"ur alle $n \geq 104$.

Wenn $(a_n)$ unbeschr"ankt, dann $(a_n)$ streng monoton.

$(a_n)$ unb. $\Longrightarrow (a_n)$ mon.

Folge:

$(b_n)=\frac{n}{n+1}$

Die Folge $(b_n)$ steigt streng monoton und trotzdem steigt sie nicht unbegrenzt an. Sie scheint sich der Zahl 1 ``anzun"ahern''.

Man sagt: Die Folge $(b_n)$ hat den Grenzwert 1.

Dieser Wert wird von den Folgendgliedern beliebig angen"ahert, d.h. der Abstand der Folgendglieder zum Grenzwert 1 unterschreitet jede noch so kleine positive Zahl.

Ab welcher Platzziffer $n_0$ ist der Abstand der Folgenglieder kleiner als $\frac{1}{10000}=10^{-4}$?

$$\begin{eqnarray*} \vert b_n-1\vert<10^{-4}\\ \vert\frac{n}{n+1}-1\vert<10^{-4}\... ...{n-n-1}{n+1}\vert<10^{-4}\\ \vert-\frac{1}{n+1}\vert<10^{-4}\\ \end{eqnarray*}$$

bei n $\in \mathbb{N}$ ist $-\frac{1}{n+1}$ immer negativ!

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}<10^{-4}\\ 1<(n+1)10^{-4}\\ \frac{1-10^{-4}}{10... ...n\\ n>0.9999\times 10^4\\ n>9999\\ \Rightarrow n_0 = 10000\\ \end{eqnarray*}$$

F"ur alle $n \geq n_0 = 10000$ ist der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert 1 kleiner als $10^{-4}$!

Verallgemeinerung

$(c_n)=\frac{n+1}{n}$ und $\varepsilon > 0$ seien vorgegeben

$$\begin{eqnarray*} \vert c_n-1\vert<\varepsilon\\ \vert\frac{n+1}{n}-1\vert<\var... ...<\varepsilon\\ \frac{1}{\varepsilon}<n\\ n>\varepsilon^{-1}\\ \end{eqnarray*}$$

$\Rightarrow$ F"ur alle $n>n_0\geq \frac{1}{\varepsilon}$ gilt: $\vert c_n-1\vert<\varepsilon$.