Der Grenzwert einer Folge

Beispiel

$a_n=20 \times (-0.8)^{n-1};n \in \mathbb{N}$

In jeder $\varepsilon$-Umgebung der Zahl 0 liegen ``fast alle'' Folgenglieder d.h. aller außer endlich vielen Gliedern.

Definition

Unter der $\varepsilon$-Umgebung einer Zahl $g$ versteht man ein nach beiden Seiten offenes Intervall mit dem Mittelpunkt $g$ und der L"ange $2\varepsilon$.

$$U_\varepsilon(g)=]g-\varepsilon;g+\varepsilon[$$

$$U_\varepsilon(g)=\{x\vert g-\varepsilon<x<g+\varepsilon\}$$

Beispiele

$$U_{\frac{1}{10}}(3)=]2.9;3.1[=\{x\vert 2.9<x<3.1\}$$

$$U_{\frac{1}{100}}(-2)=]-2.01;-1.99[=\{x\vert-2.01<x<1.99\}$$

Anwendung

$$a_n=2+\frac{(-1)^{n+1}}{n}$$

Die Folge scheint den Grenzwert $g=2$ zu haben.

Nachweis

$\varepsilon > 0$ sei vorgegeben; liegen in der Umgebung $U_\varepsilon(2)$ fast alle Folgenglieder?

$$\begin{eqnarray*} \vert a_n-g\vert<\varepsilon\\ \vert 2+\frac{(-1)^{n+1}}{n}-2... ...varepsilon\\ \frac{1}{n}<\varepsilon\\ \frac{1}{\varepsilon}<n \end{eqnarray*}$$

$\Rightarrow$ Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es eine Platzziffer $n_0$, so dass $\vert a_n-2\vert<\varepsilon$ f"ur alle $n>n_0\geq \frac{1}{\varepsilon}$ d.h. alle Folgenglieder $a_n$ f"ur $n>n_0$ liegen in $U_\varepsilon(2)$.

Definition Grenzwert

Eine Folge $(a_n)$ hat den Grenzwert $g$, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $n_0$ gibt, so dass $\vert a_n-g\vert<\varepsilon$ f"ur alle $n>n_0$.

Eine Folge mit Grenzwert heißt konvergente Folge. Eine Folge ohne Grenzwert heißt divergente Folge.

Hat eine konvergente Folge den Grenzwert $g$, dann schreibt man symbolhaft:

$$\lim_{n\to\infty}(a_n)=g$$

Man liest: ``Limes $a_n$ f"ur $n$ gegen $\infty$ gleich $g$''