Grenzwerte bei Funktionen

Folgen und Funktionen

Folgen sind Funktionen mit $\mathbb{D}_f=\mathbb{N}$.

z.B. $(a_n)=\frac{n}{n+1};n\in\mathbb{N}$

d.h. $f:h\mapsto\frac{n}{n+1}; \mathbb{D}_f=\mathbb{N}$

Wir wissen bereits: $\lim_{n\to\infty}(a_n)=1$

Erweitern des Definitionsbereiches

in einem ersten Schritt auf $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}_0^+$:

$$\Rightarrow f:x\mapsto\frac{x}{x+1}; \mathbb{D}_f=\mathbb{R}_0^+$$

$x$ kann hier in einer beliebigen Art u. Weise unbegrenzt enwachsen.

$$\lim_{x\to\infty}(\frac{x}{x+1})=1$$

Erneutes Erweitern des Definitionsbereiches

in einem zweiten Schritt auf $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$.

$$f:x\mapsto\frac{x}{x+1};\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$$

$f$ hat an der Stelle $x_0=-1$ eine Definitionsl"ucke.

Was geschieht f"ur $x\to-\infty$?

Vorsichtshalber beschr"anken wir uns auf die Betrachtung f"ur alle $x<-1$!

Anschaulich:

$$\lim_{x\to-\infty}(\frac{x}{x+1})=1$$

Rechnerisch:

$$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to-\infty}(\frac{x}{x+1})=\lim_{x\to\infty}(\frac{-x}{-x+1})\\ =\lim_{x\to\infty}(\frac{1}{1-\frac{1}{x}})=1 \end{eqnarray*}$$

Asymptoten

Anschaulich:

N"ahert sich der Graph einer Funktion $f$ f"ur $x\to+\infty$ bzw. f"ur $x\to-\infty$ einer Geraden, so heißt diese Gerade Asymptote des Graphen von $f$.

Analytisch:

N"ahern sich die Werte einer Funktion $f$ f"ur $x\to+\infty$ bzw. f"ur $x\to-\infty$ beliebig einer Zahl $a$, so heißt diese Zahl Grenzwert der Funktion $f$ f"ur $x\to\infty$ bzw. f"ur $x\to-\infty$.

Einfache Grenzwerte

1. 
   
   $$\lim_{x\to\pm\infty}(\frac{c}{x})=0;c\in\mathbb{R}$$
   
   

2. 
   
   $$\lim_{x\to\pm\infty}(\frac{c}{x^2})=0;c\in\mathbb{R}$$
   
   

3. 
   
   $$\lim_{x\to\pm\infty}(\frac{c}{x+k})=0;c,k\in\mathbb{R}$$
   
   

In all diesen F"allen ist die $x$-Achse waagrechte Asymptote der Funktionsgraphen.

1. 
   
   $$\lim_{x\to\pm\infty}(c)=c;c\in\mathbb{R}$$
   
   

Schiefe Asymptoten

Beispiel

$$f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}$$

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$ ex. nicht

Polynomdivision

$$(x^2+2):(x-1)=x+1+\frac{3}{x-1}$$

F"ur sehr große $x$ gilt:

$$f(x)\approx x+1$$

d.h. f"ur $x\to\infty$ n"ahert sich der Graph von $f$ der Geraden $y=x+1$ beliebig an.

$\Rightarrow y=x+1$ ist die Funktionsgleichung einer sogenannten schiefen Asymptote.