Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle $x_0$

Stetigkeit

1.

$$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$$

$$\Rightarrow f:x\mapsto\frac{\sin(x)}{x}; x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

$f$ hat an der Stelle $x_0=0$ eine Definitionsl"ucke. Hat Graph $f$ fort eine senkrechte Asymptote?

Wertetabelle

x 		$\frac{\sin(x)}{x}$

$\pm\pi$ 0

$\pm2.5$ 0.239

$\pm2$ 0.455

$\pm1$ 0.841

$\pm0.5$ 0.960

$\pm0.25$ 0.990

$\pm0.1$ 0.998

Ergebnis

$$\lim_{x\to 0; x>0}(\frac{\sin(x)}{x})=1$$

rechtsseitiger Grenzwert

$$\lim_{x\to 0; x<0}(\frac{\sin(x)}{x})=1$$

linksseitiger Grenzwert

Mit Hilfe diser beiden Eigenschaften kann man ganz bequem und elegant eine neue, l"uckenlose Funktion basteln, deren Graph an der Stelle $x_0=0$ nicht unterbrochen ist, sondern durchgezeichnet werden kann.

$$g(x)=\lbrace\frac{\sin(x)}{x}; x \neq 0$$

$$g(x)=\lbrace 1; x = 0$$

Anschaulich: Man kann den Graphen von $g$ ohne Absetzen durchzeichnen.

Man sagt: Wir haben $f(x)$ an der Stelle $x_0$ stetig fortgesetzt.

$g(x)$ ist eine abschnittsweise definierte Funktion.

Definition Stetigkeit

Wann ist eine Funktion an der Stelle $x_0$ stetig?

Anschaulich

$f(x)$ ist an der Stelle $x_0$ stetig, wenn der Graph von $f$ "uber die Stelle $x_0$ hinweg ohne Absetzen gezeichnet werden kann.

Analytisch

Eine Funktion $f$ mit $f:x\mapsto f(x); x\in\mathbb{D}_f$ heißt stetig an einer Stelle $x_o$, wenn gilt:

$$\lim_{x\to x_0;x>x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0;x<x_0}f(x)=f(x_0)$$

Sprungstellen

Beispiel

$$f(x)=\lbrace\frac{1}{2}x; x<2$$

$$f(x)=\lbrace-x+4;x>2$$

$$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2;x<2}f(x)=1\\ \lim_{x\to 2;x>2}f(x)=2\\ \\ \lim_{x\to 2;x<2}f(x) \neq \lim_{x\to 2;x>2}f(x) \end{eqnarray*}$$

$\Rightarrow f(x)$ ist an der Stelle $x_0=2$ nicht stetig fortsetzbar!

$f(x)$ ist an der Stelle $x_0=2$ fortsetzbar, kann aber damit nie stetig werde an der dieser Stelle.

z.B.

$$\begin{eqnarray*} g(x)=\lbrace\frac{1}{2}x; x<2\\ g(x)=\lbrace 1; x=2\\ g(x)=\lbrace-x+4;x>2\\ \end{eqnarray*}$$

$g(x)$ hat an der Stelle $x_0=2$ eine endliche Sprungstelle.

Beispiel

$$f(x)=\lbrace\frac{1}{2}x; x<2$$

$$f(x)=\lbrace\frac{1}{x-2};x>2$$

$\lim_{x\to 2;x<2}f(x)=1$
$\lim_{x\to 2;x>2}f(x)$ existiert nicht

$\Rightarrow f(x)$ nicht stetig fortsetzbar an der Stelle $x_o=2$.

$f(x)$ ist aber fortsetzbar z.B.

$$\begin{eqnarray*} g(x)=\lbrace\frac{1}{2}x; x<2\\ g(x)=\lbrace 1; x=2\\ g(x)=\lbrace\frac{1}{x-2};x>2\\ \end{eqnarray*}$$

$g(x)$ hat an der Stelle $x_0=2$ eine unendliche Sprungstelle.