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Funktionen

Subsections

Grenzwerte bei Funktionen
- Folgen und Funktionen
- Asymptoten
  - Anschaulich:
  - Analytisch:
- Einfache Grenzwerte
- Schiefe Asymptoten
  - Beispiel
  - Polynomdivision
Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle
- Stetigkeit
- Definition Stetigkeit
  - Anschaulich
  - Analytisch
- Sprungstellen
  - Beispiel
  - Beispiel
Pole mit und ohne Vorzeichenwechseln
Funktionenscharen
- Funktion
- Stetigkeitsuntersuchung
Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert
- Behauptung
- Beispiel
- Voraussetzung
- Behauptung
- Beweis (indirekt)
  - Annahme
Schnittpunkte des Graphen einer Funktion mit den Koordinatenachsen
- 1. Beispiel
  - 1. Für den Schnittpunkt mit Y-Achse gilt:
  - 2. Für den Schnittpunkt mit X-Achse gilt:
- 2. Beispiel
  - 1. Schnittpunkt S mit der Y-Achse
  - 2. Nullstellen
Vorübung zum Tangentenproblem
- Gleichförmige Bewegung
- Beschleunigte Bewegung
- Definition
Verallgemeinerung des Tangentenproblems
- Geschwindigkeiten
- Verallgemeinerung
Berechnung einer Ableitung nach der h-Methode
- Methode
- Beispiel
  - 1. Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten:
  - 2. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten:
Die Tangente t an dem Graph einer Funktion f
- Ableitung
  - 1. Wir bestimmen die Tangente im Punkt $P_0(x_0\vert f(x_0))$ :
  - 2. Wie bestimmen wir die Funktionsvorschrift für ?
- Beispiel
Gleichung der Normalen
- 1. Gleichung der Tangente
- 2. Gleichung der Normalen
Die Differenzierbarkeit einer Funktion
- Aufgabe
- Ist f an der Stelle stetig?
- Welche Ableitung hat f an der Stelle ?
- Weiteres Beispiel
  - 1. Stetigkeit
  - 2. Ableitung
- Definition
- Zusammenfassung
- Analytische Begründung
Die Ableitungsfunktion
- Graph
- Ableitung
- Allgemein
- Beispiel
Die Potenzregel
- Beispiele
- Beweis
- Satz
Die Summenregel
- Beispiel
- Allgemein
- Beweis
Faktorregel
- Regel
- Kurzbeweis
Ableitung der Trigonometrischen Funktionen
- Sinusfunktion
- Cosinusfunktion
Beispielanalyse einer Funktionenschar
- Nullstellen von
- Der Scheitel
- Ortskurve der Scheitelpunkte
- Gemeinsame Punkte
- Ortskurve der Punkte mit der Steigung 2
- Die Stelle , an der alle Graphen von die gleiche Steigung haben
Extremstellen und Extremwerte einer Funktion
- Anschaulich
- Zusammenfassung
Analytische Erfassung von Maxima und Minima einer Funktion
- Definition des relativen Maximums
- Definition des relativen Minimums
- Eigenschafen von an einer Extremstelle
  - Anschaulich:
- Satz
- Beweis
- Kann man diesen Satz auch umkehren?
  - Gegenbeispiel
- Notwendig / Hinreichend
Hinreichendes Kriterium für eine Extremstelle
- Extremstelle $x_{e_1}$ :
- Extremstelle $x_{e_2}$ :
- Sattelstelle $x_{s_1}$ (analog für $x_{s_2}$ ):
- Satz: Vorzeichenwechselkriterium
Vereinfachung des hinreichenden Vorzeichwechsel Kriteriums
- Satz
- Beweis für relatives Maximum
Verschiedene Funktionen
- Die Betragsfunktion
- Die Signumfunktion
- Die Ganzteilfunktion (Gauß'sche Klammerfunktion)
Exponentialfunktionen
- Beispiel 1
- Beispiel 2
- Beispiel 3
- Definition
- Spezialfall
- Eigenschaften von
- Die -Funktion
Wiederholung Logarithmusbegriff
- Definition
- Logarithmusregeln
- Umkehrbarkeit einer Funktion
- Umkehrung der Exponentialfunktion
- Spezialfall: Umkehrung von
Die -Funktion
- Definition, Graph
- Bekannt
- Ableitung
Weitere Integrationsmethoden
- Wiederholung
- Partielle Integration oder Produktintegration
- Integration durch Substitution (1)
- Integration durch Substitution (2)
Differentialgleichungen
- Definition
- Anmerkungen
- Beispiele

Michael Arndt 2006-04-07