Die Tangente t an dem Graph einer Funktion f

Ableitung

1. Wir bestimmen die Tangente im Punkt $P_0(x_0\vert f(x_0))$:

$$m_t=f'(x_0)$$

Damit kennen wir einen Punkt $P_0$ und die ``Richtung'' (Steigung) der gesuchten Tangente.

2. Wie bestimmen wir die Funktionsvorschrift für $t$?

$$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\frac{ t(x)-f(x_0) }{ x-x_0 }\\ f'(x_0)(x-x_0)=t(x)-f... ..._0)(x-x_0)+f(x_0)=t(x) }\\ t(x)=f'(x_0)*x-f'(x_0)*x_0+f(x_0)\\ \end{eqnarray*}$$

$\Rightarrow$ Funktionsgleichung der Tangente im Punkt $P_0$:

$$\begin{eqnarray*} t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\ \end{eqnarray*}$$

Beispiel

$$f:x \mapsto 3x^2+1; \mathbb{D}_f=\mathbb{R}$$

Bestimme die Tangentengleichung im Punkt $P_0 (\frac{1}{2}\vert?)$

$$\begin{eqnarray*} 1. f(x_0)=1 \frac{3}{4} \Rightarrow P_0(\frac{1}{2}\vert 1\fra... ...x-\frac{1}{2}}\\ =\lim_{x\to\frac{1}{2}}3x+\frac{3}{2}\\ =3\\ \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} t(x)=f'(\frac{1}{2})*x-f'(\frac{1}{2})*\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\\ t(x)=3x+\frac{1}{4}\\ \end{eqnarray*}$$