Berechnung einer Ableitung nach der h-Methode

Methode

$$g_r=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}={\bf\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} }$$

$$g_l=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}={\bf\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}}$$

Falls $g_r=g_l$, gilt: $\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0\pm h)-f(x_0)}{\pm h}$

Beispiel

$$f(x)=3x^2$$

1. Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten:

$$\begin{eqnarray*} g_r=\lim_{h\to 0} \frac{3(x_0+h)^2-3x_0^2}{+h}\\ =\lim_{h\to 0} 6x_0+3h\\ =6x_0\\ \end{eqnarray*}$$

2. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten:

$$\begin{eqnarray*} g_l=\lim_{h\to 0} \frac{-6x_0 h+3h^2}{-h}\\ =\lim_{h\to 0} 6x_0-3h\\ =6x_0 \end{eqnarray*}$$