Die Differenzierbarkeit einer Funktion

Aufgabe

$$\begin{eqnarray*} f:x\mapsto\lbrace x^2;x\leq 1\\ f:x\mapsto\lbrace \sqrt{x};x > 1\\ \end{eqnarray*}$$

Ist f an der Stelle $x_0=1$ stetig?

$$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1;x<1} x^2=1\\ \lim_{x\to 1;x>1} \sqrt{x}=1\\ f(1)=1\\ \end{eqnarray*}$$

$\Rightarrow$ $f$ ist an der Stelle $x_0=1$ stetig

Welche Ableitung hat f an der Stelle $x_0=1$?

$$\begin{eqnarray*} g_l=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}\\ =\lim_{h\to 0} \frac{(1-h)^2-1}{-h}\\ =\lim_{h\to 0} \frac{-h^2-2h}{-h}\\ =2\\ \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} g_r=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ =\lim_{h\to 0} ... ...}\\ =\lim_{h\to 0} \frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ =\frac{1}{2}\\ \end{eqnarray*}$$

$g_l \neq g_r \Rightarrow f'(1)$ existiert nicht!
$\Rightarrow$ f ist an der Stelle $x_0=1$ nicht differenzierbar.

Anschaulich bedeutet das: Graph f hat an der Stelle $x_0=1$ einen Knick.

Weiteres Beispiel

$$\begin{eqnarray*} f:x\mapsto\lbrace \frac{1}{4}x^2;x \leq 2\\ f:x\mapsto\lbrace \frac{1}{4}x^2+1; x > 2\\ \end{eqnarray*}$$

1. Stetigkeit

$f$ ist unstetig an der Stelle $x_0=2$, da

$$\lim_{x\to 2;x<2} f(x)=1; \lim_{x\to 2;x>2} f(x)=2; f(x)=1$$

2. Ableitung

$$\begin{eqnarray*} g_l=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{4} (2-h)^2-\frac{1}{4}*2^2}{-h}\\ =1 \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} g_r=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{4} (2+h)^2 +1 -\frac{1}{4}*2^2}{h}\\ =\lim_{h\to 0} (\frac{1}{h}+1+\frac{1}{4}h) \end{eqnarray*}$$

existiert nicht, da $\frac{1}{f}\to\infty$

$g_l \neq g_r \Rightarrow f$ ist an der Stelle $x_0=2$ nicht differenzierbar.

Definition

Eine Funktion $f$ sei in $\mathbb{D}_f=[a;b]$ definiert. $f$ heißt differenzierbar an der Stelle $x_0 \in ]a;b[$, wenn

$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}$$

Zusammenfassung

1.

Sprungstelle $x_0$ (unstetig an der Stelle $x_0 \Rightarrow f$ nicht differenzierbar an der Stelle $x_0$

2.

$f$ stetig an der Stelle $x_0$, jedoch mit ``Knick'' $\Rightarrow f$ nicht differenzierbar an der Stelle $x_0$

3.

$f$ stetig an der Stelle $x_0$ und ``glatt'' $\Rightarrow f$ ist differenzierbar an der Stelle $x_0$

1. Ergebnis

Ist $f$ an der Stelle $x_0$ stetig, dann ist nicht sicher, ob $f$ dort auch differenzierbar ist.

Stetigkeit $\not\Rightarrow$ Differenzierbarkeit

2. Ergebnis

$f$ nicht differenzierbar an der Stelle $x_0 \Rightarrow f$ ist stetig oder unstetig an der Stelle $x_0$

$f$ differenzierbar an der Stelle $x_0 \Rightarrow f$ stetig an der Stelle $x_0$

Stetigkeit ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit.

Differenzierbarkeit ist eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung für die Stetigkeit.

Analytische Begründung

Analytische Begründung für die Aussage Differenzierbarkeit $\Rightarrow$ Stetigkeit:

Voraussetzung

$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0; x>x_0; x<x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

existiert

Behauptung

$$\lim_{x\to x_0;x>x_0; x<x_0} f(x)=f(x_0)$$

Beweis

$x-x_0\to 0$ für $x\to x_0$
$\Rightarrow f(x)-f(x_0)\to 0$ für $x\to x_0$, da $f'(x_0)$ existiert.

$\Rightarrow f(x)\to f(x_0)$ für $x\to x_0$

d.h. $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ (q.e.d)