Die Ableitungsfunktion

Graph

$$f:x\mapsto x^2; \mathbb{D}_f=\mathbb{R}$$

Ableitung $f'(x_0)$

$$f'(x_0)=2x_0$$

$f'(x_0)$ verhällt sich wie eine Funktionsvorschrift.

$$\begin{eqnarray*} f':x\mapsto 2x; \mathbb{D}_{f^{'}}=\mathbb{R}\\ f'':x\mapsto ... ...hbb{R}\\ f^{(4)}:x\mapsto 0; \mathbb{D}_{f^{(4)}}=\mathbb{R}\\ \end{eqnarray*}$$

Allgemein

Funktion $f:x\mapsto f(x); x\in\mathbb{D}_f$
Ableitungsfunktion: $f':x\mapsto f'(x); x\in\mathbb{D}_{f^{'}}$

$\mathbb{D}_{f^{'}}=\mathbb{D}_f$ oder $\mathbb{D}_{f^{'}} \subset \mathbb{D}_{f}$ bzw. $\mathbb{D}_{f^{'}} \subseteq \mathbb{D}_f$

Beispiel

$$f:x\mapsto \sqrt{x}; \mathbb{D}_{f} = \mathbb{R}_0^+$$

$$\Rightarrow f':x\mapsto \frac{1}{2\sqrt{2}}; \mathbb{D}_{f^{'}} = \mathbb{R}_0^+$$

f ist also an der Stelle $x_0=0$ nicht differenzierbar