Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert

Behauptung

Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert.

Beispiel

$$a_n=(-1)^n*(1+\frac{1}{n}); n \in \mathbb{N}$$

$n$ gerade: $a_2=\frac{3}{2}; a_4=\frac{5}{4}; ... \to 1$ für $n\to\infty$ $n$ ungerade: $a_!=-2; a_3=-\frac{4}{3}; a_5=-\frac{6}{5}; ... \to -1$ für $n\to\infty$

Voraussetzung

Definition des Grenzwertes

Behauptung

Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert

Beweis (indirekt)

Annahme

Eine Folge hat zwei oder mehr Grenzwerte $g_1$ und $g_2$, ... sei richtig!

$\Rightarrow$ In jeder $\varepsilon$-Umgebung $U_1$ von $g_1$ liegen unendlich viele Glieder der Folge und außerhalb endlich viele.

$\Rightarrow$ In jeder $\varepsilon$-Umgebung $U_2$ von $g_2$ liegen ebenfalls unendlich viele und außerhalb endlich viele.

$\Rightarrow$ Für $0 < \varepsilon < \vert g_2-g_1\vert$ liegen außerhalb von $U_1$ (und auch von $U_2$) unendlich viele Glieder!

$\Rightarrow$ Widerspruch zur Vorraussetzung!

$\Rightarrow$ Annahme ist falsch

$\Rightarrow$ Behauptung ist richtig