Vorübung zum Tangentenproblem

Gleichförmige Bewegung

Der Körper legt in gleichen Zeitabschnitten stets gleiche Wegabschnitte zurück.

Zurückgelegter Weg: $s(t)$ (von t abhängige Variable)
Benötigte Zeit: $t$ (unabhängige Variable)

Wir untersuchen:

$$f:t \mapsto s(t); t \in \mathbb{R}_0^+$$

$$v=\frac{s(t)-s(t_1)}{t-t_1}$$

``Differenzenquotient''

$$s(t)=v*t+s_0$$

Beschleunigte Bewegung

Beim Vorgang einer Bremsung ändert sich die Geschwindigkeit. Da $v$ nun nicht mehr const. ist kann man zu jedem Augenblick nur noch von einer Momantangeschwindigkeit reden, die nun aber nicht mehr als Differenzenquotient darstellbar ist.

Es gelte:

$$s(t)=k*t^2; k > 0$$

$$\overline{v}=\frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}$$

ist eine ``mittlere Geschwindigkeit'' zwischen den Zeitpunkten $t_0$ und $t_1$.

$\overline{v}$ ist die Steigung der Sekanten $P_0 P_1$.

$$\overline{v}(t_1)=\frac{kt_1^2-kt_0^2}{t_1-t_0}; t_1 \neq t_0$$

$\Rightarrow$

$$\begin{eqnarray*} v_m=\lim_{t_1\to t_0} \overline{v}(t_1)\\ =\lim_{t_1\to t_0} ... ...)(t_1+t_0)}{t_1-t_0}\\ =\lim_{t_1\to t_0} k(t_1+t_0) = 2kt_0\\ \end{eqnarray*}$$

$v_m=2kt_0$ ist die gesuchte Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0$.

$$v_m=\lim_{t\to t_0}\overline{v}(t)$$

Die Momentangeschwindigkeit $v_m$ ist die Steigung der Tangente im Graph im Punkt $P_0$.

Definition

Unter der Steigung einer Kurve im Kurvenpunkt $P_0$ versteht man die Steigung der Tangente im Punkt $P_0$.