Verallgemeinerung des Tangentenproblems

Geschwindigkeiten

$$s:t \mapsto s(t); t \in [a;b]$$

$\Rightarrow$ Mittlere Geschwindigkeit zwischen $t$ und $t_0$:

$$\overline{v}(t)=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$$

$\Rightarrow$ Momentangeschwindigkeit an der Stelle $t_0$:

$$v_m(t_0)=\lim_{t\to t_0} \frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$$

Steigung der Tangente in $P_0(t_0\vert s(t_0))$ oder Steigung der Kurve in $P_0$

Verallgemeinerung

$$f:x \mapsto f(x); x \in [a;b]$$

$\Rightarrow$ Mittlere Steigung zwischen $x$ und $x_0$ (Sekantensteigung):

$$m_s=\frac{f(x)-f(x_0)}{t-t_0}$$

Differenzenquotient

$\Rightarrow$ Steigung der Tangente in $P_0(x_0\vert f(x_0))$:

$$m_t(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Differentialquotient

Man sagt: $m_t(x_0)$ ist die sog. Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$.

Man schreibt: $m_t(x_0)=f'(x_0)$ ``$f$-Strich von $x_0$''.