Die Potenzregel

Beispiele

$$f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x$$

$$f(x)=x^3 \Rightarrow f'(x)=3x^2$$

$$f(x)=x^100 \Rightarrow f'(x)=100x^99$$

$$f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$$

Beweis

Vorraussetzung

$$f(x)=x^n; n\in\mathbb{N};\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$$

Behauptung

$$f'(x)=nx^{n-1}; n\in\mathbb{N};\mathbb{D}_{f{'}}=\mathbb{R}$$

Beweis

Rechtsseitiger Grenzwert

$$\begin{eqnarray*} g_r=\lim_{h\to 0} \frac{(x_o+h)^n-{x_0}^n)}{h}\\ =\lim_{h\to ... ...^n + {nhx_0}^{n-1} + h^2 T(x_0;h) - {x_0}^n}{h}\\ =n{x_0}^{n-1} \end{eqnarray*}$$

Wir betrachten $(x_0+h)^n$

$$x_0+h)^n=(x_0+h)(x_0+h)...(x_0+h)$$

n Faktoren $(x_0+h)$

$$={x_0}^n+nh{x_0}^{n-1}+h^2 T(x_0;h)$$

$T(x_0;h)$ ist ein ganzrationaler Term

Linksseitiger Grenzwert

Analog zum rechtsseitigen Grenzwert

Was zu beweisen war:

$$f'(x_0)=n{x_0}^{n-1}$$

Die Potenzregel gilt auch für rationale Exponenten (ohne Beweis!).

Satz

$$f(x)=x^r;r\in \mathbb{R}\Rightarrow f'(x)=rx^{r-1}$$