Die Summenregel

Beispiel

$$f(x)=x^3+x^2;\mathbb{D}_f=[-7;12]$$

$$\Rightarrow f'(x)=3x^2+2x; \mathbb{D}_{f^{'}}=]-7;12[$$

Allgemein

$$f(x)=u(x)+v(x); \mathbb{D}_f=[a;b]$$

$$f'(x)=u'(x)+v'(x); \mathbb{D}_{f^{'}}=]a;b[$$

Beweis

Voraussetzung

$u$ und $v$ seien auf einem Intervall $[a;b]$ definiert und an der Stelle $x_0 \in ]a;b[$ differenzierbar.

Behauptung

$f(x)=u(x)+v(x)$ ist an der Stelle $x_0 \in ]a;b[$ differenzierbar und es gilt: $f'(x_0)=u'(x_0)+v'(x_0)$.

Beweis

$u'$ und $v'$ existieren $\Rightarrow$ $u'(x_0)+v'(x_0)$ existiert.

$$\begin{eqnarray*} u'(x_0)+v'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+\fra... ...x)-u(x_0)-v(x_0)}{x-x_0}\\ f'(x_0)=u'(x_0)+v'(x_0)\\ q.e.d.\\ \end{eqnarray*}$$