Ableitung der Trigonometrischen Funktionen

Sinusfunktion

$$s:x\mapsto sin(x); \mathbb{D}_s=\mathbb{R}$$

Voraussetzung

$s(x)=sin(x)$ ist differenzierbar an der Stelle $x_0$

Behauptung

$$s'(x)=cos(x)$$

Beweis

Aus Formelsammlung: $sin(x)-sin(y)=2cos(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})$

$$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{sin(x_0+h)-sin(x_0)}{h}\\ =\lim_{h\to 0} ... ...rac{h}{2}}\\ =2cos(x_0)*\frac{1}{2}*1\\ =cos(x_0)\\ q.e.d.\\ \end{eqnarray*}$$

Cosinusfunktion

$$c:x\mapsto cos(x); \mathbb{D}_c=\mathbb{R}$$

Voraussetzung

$c(x)=cos(x)$ ist differenzierbar an der Stelle $x_0$

Behauptung

$$c'(x)=-sin(x)$$

Beweis

$$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{cos(x_0+h)-cos(x_0)}{h}\\ =\lim_{h\to 0} ... ...}\frac{sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\\ =-sin(x_0)\\ q.e.d.\\ \end{eqnarray*}$$