Beispielanalyse einer Funktionenschar

$$f_t:x\mapsto tx^2+x-\frac{2}{t}; \mathbb{D}_f=\mathbb{R}; t\in \mathbb{R}\backslash\lbrace 0 \rbrace$$

Nullstellen von $f_t$

notwendig und hinreichend: $f_t(x_n)=0$

$$\begin{eqnarray*} tx^2+x-\frac{2}{t}=0\\ x_{n_{1,2}}=-1 \pm 3\\ x_{n_1}=\frac{... ...t)\\ x_{n_1}=-\frac{2}{t} \Rightarrow N_2(-\frac{2}{t}\vert)\\ \end{eqnarray*}$$

Der Scheitel $s_t$

notwendig: $f_t^{'}(x)=2tx+1$

$$\begin{eqnarray*} 2tx+1=0\\ x_s=-\frac{1}{2t} \Rightarrow S(-\frac{1}{2t}\vert-\frac{9}{4t})\\ \end{eqnarray*}$$

Ortskurve der Scheitelpunkte

$$\begin{eqnarray*} x_s=-\frac{1}{2t}\\ y_s=-\frac{9}{4t}\\ \end{eqnarray*}$$

wir eliminieren $t$:

$$\begin{eqnarray*} x_s=-\frac{1}{2t} \Rightarrow t=-\frac{1}{2x_s}\\ y_s=-\frac{... ...frac{2}{x_s}}\\ =\frac{9}{2}x_s\\ \Rightarrow K:y=\frac{9}{2}x \end{eqnarray*}$$

Gemeinsame Punkte

Es sei $t_1 \neq t_2$

Schnitt von Graph $f_{t_1}$ mit dem Graph $f_{t_2}$:

$$\begin{eqnarray*} t_1 x_s^2+x_s-\frac{2}{t_1}=t_2 x_s^2+x_s-\frac{2}{t_2}\\ x_s... ...=\frac{-2(t_1-t_2)}{t_1 t_2 (t_1-t_2)}\\ =-\frac{2}{t_1 t_2}\\ \end{eqnarray*}$$

Da $x_s$ von $t_1$ und $t_2$ abhängig ist, gibt es keine gemeinsamen Punkte!

Ortskurve der Punkte mit der Steigung 2

$$f_t^{'}(x_0)=2$$

$$2tx_0+1=2 \Rightarrow x_0=\frac{1}{2t} \Rightarrow y_0=-\frac{5}{4t}$$

Ortskurve: $t$ eliminieren

$$\begin{eqnarray*} x_0=\frac{1}{t2}\\ \Rightarrow t=\frac{1}{2x_0}\\ y_0=-\frac... ...{1}{2x_0}}=-\frac{5}{2}x_0\\ \Rightarrow K:y=-\frac{5}{2}x_0\\ \end{eqnarray*}$$

Die Stelle $x_0$, an der alle Graphen von $f_t$ die gleiche Steigung haben

$$f_t^{'}(x)=2tx+1$$

Es sei $t_1 \neq t_2$:

$$\begin{eqnarray*} 2t_1 x_0+1=2t_2 x_0+1\\ t_1 x_0=t_2 x_0\\ (t_1-t_2)x_0=0\\ \end{eqnarray*}$$

Da $t_1 - t_2 = 0$ nach Voraussetzung $\Rightarrow x_0=0$. An der Stelle $x_0=0$ haben alle Grapehn $f_t$ die Steigung 1.