Analytische Erfassung von Maxima und Minima einer Funktion

Definition des relativen Maximums

$f$ sei auf einem Intervall $\mathbb{D}_f=I$ definiert. $f(x_e)$ heißt relatives Maximum der Funktion, wenn es eine Umgebung $U(x_e)$ gibt, so dass für alle $x\in U(x_e) \cap \mathbb{D}_f$ gilt:

$$f(x_e) \geq f(x)$$

Gilt diese Bedingung für alle $x \in \mathbb{D}_f$, so ist $f(x_e)$ sogar absolutes Maximum.

Definition des relativen Minimums

S.o. ..., so dass gilt:

$$f(x_e) \leq f(x)$$

Eigenschafen von $f$ an einer Extremstelle $x_e$

Anschaulich:

Wenn eine Funktion $f$ eine Extremstelle $x_e$ hat, dann hat der Graph an dieser Stelle

eine waagerechte Tangente

($f$ ist dort also differenzierbar) oder

eine Knickstelle

($f$ ist dort also nicht differenzierbar) oder

eine Sprungstelle

($f$ ist dort also nicht differenzierbar) oder

eine Randstelle

($f$ ist dort also nicht differenzierbar)

Zur Vereinfachung beschränken wir uns ab sofort auf Funktionen, die an der Stelle $x_e$ differenzierbar sind.

Satz

Eine Funktion $f$ sei an einer Stelle $x_e \in ]a;b[$ differenzierbar. Wenn $x_e$ eine Extremstelle ist, dann gilt $f'(x_e)=0$.

Beweis

Voraussetzung

$f$ ist an der Stelle $x_e \in ]a;b[$ differenzierbar und $x_e$ sei Extremstelle.

Behauptung

$f'(x_e)=0$

Beweis

$x\in U(x_e)$

$x>x_e \Rightarrow f(x)-f(x_e) \leq 0$ nach Definition des Maximums; $\Rightarrow$ Sekantensteigung: $m_{s_r}=\frac{f(x)-f(x_e)}{x-x_e} \leq 0$

$x<x_e \Rightarrow f(x)-f(x_e) \leq 0$ nach Definition des Maximums; $\Rightarrow$ Sekantensteigung: $m_{s_l}=\frac{f(x)-f(x_e)}{x-x_e} \geq 0$

$$\Rightarrow \lim_{x\to x_e; x>x_e} m_{s_r} \leq 0$$

$$\Rightarrow \lim_{x\to x_e; x<x_e} m_{s_l} \geq 0$$

Diese beiden Grenzwerte müssen gleich sein! Da $f'(x_e)$ existient (nach Voraussetzung) gilt: $f'(x_e)=0$ q.e.d.

Kann man diesen Satz auch umkehren?

Wenn $f'(x_e)=0$ dann ist $x_e$ eine Extremstelle?

Gegenbeispiel

$$f(x)=x^3 \Rightarrow f'(x)=3x^2$$

$$3x^2=0 \Rightarrow x=0$$

$P(0\vert)$ ist ein Sattelpunkt, $0$ ist Sattelstelle.

Notwendig / Hinreichend

$f'(x_e)=0$ ist notwendig, aber nicht hinreichend für das Vorhandensein einer Extremstelle!