Hinreichendes Kriterium für eine Extremstelle

$x_{e_1} \approx 1,5; x_{e_2} \approx 4,7; x_{s_1} \approx 3; x_{s_2} \approx 4$

Wie kann man eine Extremstelle $x_e$ von einer Sattelstelle $x_s$ analytisch unterscheiden?

Extremstelle $x_{e_1}$:

$x<x_{e_1}$: $f$ streng monoton steigend $\Rightarrow f'(x)>0$ $x>x_{e_1}$: $f$ streng monoton fallend $\Rightarrow f'(x)<0$

$f'(x)$ hat an der Stelle $x_{e_1}$ also einen Vorzeichenwechsel von + nach -.

Extremstelle $x_{e_2}$:

$f'(x)$ hat an der Stelle $x_{e_2}$ einen Vorzeichenwechsel von - nach +.

Sattelstelle $x_{s_1}$ (analog für $x_{s_2}$):

$f'(x)$ hat an der Stelle $x_{s_1}$ keinen Vorzeichenwechsel.

Satz: Vorzeichenwechselkriterium

$f$ sei in einer Umgebung von $x_0$ differenzierbar und es gelte $f'(x_0)=0$.

Wenn $f'$ an der Stelle $x_0$ einen (+/-) Vorzeichenwechsel hat, dann liegt an der Stelle $x_0$ ein relativer Hochpunkt des Graphen von $f$ vor.

Wenn $f'$ an der Stelle $x_0$ einen (-/+) Vorzeichenwechsel hat, dann liegt an der Stelle $x_0$ ein relativer Tiefpunkt des Graphen von $f$ vor.