Vereinfachung des hinreichenden Vorzeichwechsel Kriteriums

$f'(x_e)=0; f''(x_e) \leq 0$

$f'(x_e)=0; f''(x_e) \geq 0$

$f'(x_s)=0; f''(x_s) = 0$

$f'(x_s)=0; f''(x_s) = 0$

Satz

$f$ sei an einer Stelle $x_0$ 2 mal differenzierbar. Wenn $f'(x_0)=0$ und. $f''(x_0) \neq 0$ dann hat $f$ an der Stelle $x_0$ ein relatives Extremum.

$f''(x)<0 \Rightarrow$ relatives Maximum $f(x_0)$

$f''(x)>0 \Rightarrow$ relatives Minumum $f(x_0)$

Beweis für relatives Maximum

Voraussetzung:

$f$ ist zweimal differenzierbar, $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)<0$

Behauptung

$f(x_0)$ ist ein relatives Maximum.

Beweis

$$f''(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f'(x_0)}-f'(x){x-x_0} <0$$

$$\Rightarrow \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0} < 0$$

in einer geeigneten Umgebung $U(x_0)$.

$$\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}=\frac{f'(x)}{x-x_0}$$

$\Rightarrow f'$ hat an der Stelle $x_0$ einen +/- Vorzeichenwechsel

$\Rightarrow f(x_0)$ ist ein relatives Maximum (q.e.d.)