Wiederholung Logarithmusbegriff

Definition

$log_a x$ ist die Hochzahl, mit der man $a$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten.

$$\begin{eqnarray*} a^{log_a x}=x\\ log_a(a^x)=x \end{eqnarray*}$$

Logarithmusregeln

1. $log_a(\frac{b}{c})=log_a(b)-log_a(c)$
2. $log_a(b*c)=log_a(b)+log_a(c)$
3. $log_a(b^c)=c*log_a(b)$

Umkehrbarkeit einer Funktion $f$

Definition: Eine Funktion $f$ ist umkehrbar auf dem Intervall $[a;b] \subset \mathbb{D}$, wenn für alle $x_1, x_2 \in [a;b]$ gilt:
$x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$

Satz: $f:x\mapsto f(x)$ ist streng monoton wachsend (fallend) für alle $x \in [a;b] \Rightarrow f$ ist umkehrbar auf $[a;b]$.

Bekannt: $f:x\mapsto b^x; b\in\mathbb{R}^+\backslash\lbrace 1\rbrace$ ist für $b<1$ streng monoton fallend und für $b>1$ streng monoton wachsend.

$\Downarrow$
Es existiert eine Umkehrfunktion $f^-$ von $f$!

Umkehrung der Exponentialfunktion

$$\begin{eqnarray*} f(x)=b^x\\ y=b^x\\ x=log_b y\\ \end{eqnarray*}$$

Vertauschen von $x$ und $y$:

$$\begin{eqnarray*} y=log_b x\\ f^-(x)=log_b x \end{eqnarray*}$$

``Logarithmusfunktion''

$$\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_{f^-}=\mathbb{W}_f=\mathbb{R}^+\\ \mathbb{W}_{f^-}=\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\end{eqnarray*}$$

Spezialfall: Umkehrung von $f(x)=e^x$

$f(x)=e^x \Rightarrow f^-(x)=log_e x = ln x$

Es gilt:

$$\begin{eqnarray*} e^{ln x}=x\\ ln(e^x)=x \end{eqnarray*}$$