Die $ln$-Funktion

Definition, Graph

$f:x\mapsto ln x; \mathbb{D}=\mathbb{R}^+, \mathbb{W}=\mathbb{R}$

Bekannt

$f^-(x)=e^x$ ist die Umkehrfunktion von $f(x)=ln(x)$

Ableitung

$(ln x)'=$?

Annahme: $f:x\mapsto f(x)$ ist im Intervall $I$ umkehrbar und in $x_0 \in I$ differenzierbar mit $f'(x_0)\neq 0$.

$$\begin{eqnarray*} f^-(f(x_0))=x_0\\ \Rightarrow [f^-(f(x_0))]'=1\\ \Rightarrow... ...) * f'(x_0)=1\\ \Rightarrow f^- (x_0)=\frac{1}{f^{-'} (f(x_0))} \end{eqnarray*}$$

hier: $f(x)=ln x; f^-(x)=e^x \Rightarrow ln'(x_0)=\frac{1}{e^{ln x_0}}=\frac{1}{x_0}$

Verallgemeinerung: $f(x)=ln(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}$ für alle $x\in \mathbb{R}^+$.