Weitere Integrationsmethoden

Wiederholung

$f:x\mapsto f(x)$

1. $f$ ist differenzierbar $\Rightarrow f$ ist stetig
2. $f$ ist stetig $\Rightarrow f$ ist integrierbar, d.h. $f$ besitzt eine Stammfunktion $F^*$
3. $F^*$ ist Stammfunktion von $f \Rightarrow \lbrace F\vert F(x)=F^*(x)+c \wedge c \in \mathbb{R}\rbrace$ ist die Menge aller Stammfunktionen
4. $f$ ist stetig $\Rightarrow I_a(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$ ist eine Integralfunktion von $f$ mit $I_a'(x)=f(x)$
5. $I_a$ ist eine Integralfunktion von $f \Rightarrow I_a$ ist eine Stammfunktion

Partielle Integration oder Produktintegration

$f(x)=u(x) * v(x) \Rightarrow$

$$f'(x) =( u(x)*v(x) )' = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)$$

$$\Rightarrow \int\limits_a^b(u(x)*v(x))'dx = \int\limits_a^b u'(x)*v(x) dx + \int\limits_a^b u(x)*v'(x) dx = [u(x)*v(x)]_a^b$$

Umgeformt:

$$\int\limits_a^b u(x)*v'(x) dx = [u(x)*v(x)]_a^b - \int\limits_a^b u'(x)*v(x) dx$$

Beispiel:

$$\int\limits_0^1 x*e^x dx$$

$$\begin{eqnarray*} u(x)=x; u'(x)=1\\ v(x)=e^x; v'(x)=e^x \end{eqnarray*}$$

$$\Rightarrow \int\limits_0^1 x*e^x dx = [x*e^x]_0^1-\int\limits_0^1 1*e^x dx$$

Integration durch Substitution (1)

$$\begin{eqnarray*} \mathbb{I}' \stackrel{g}{\rightarrow} \mathbb{I}\stackrel{f}{\... ...tarrow} \mathbb{R}\\ u \rightarrow x \rightarrow f(x)\\ x=g(u) \end{eqnarray*}$$

Substitutionsregel:

$$\int\limits_a^b f(x)dx \underbrace{=} _{ \stackrel{ x=g(u)... ...limits_{\overline{g}(a)}^{\overline{g}(b)} f(g(u)) * g'(u) du$$

Beispiel:

$$\int\limits_0^1 e^x\sqrt{e^x +1}dx \underbrace{=} _{ \stack... ...)}\sqrt{e^{ln(u)}+1}*\frac{1}{u} = \int\limits_1^e\sqrt{u+1}du$$

Integration durch Substitution (2)

Substitutionsregel:

$$\int\limits_a^b f(g(x)) * g'(x) dx \underbrace{=} _{ u=g(x); g'(x)=\frac{du}{dx} } \int\limits_{g(a)}^{g(b)} f(u)du$$

Beispiel:

$$\int\limits_1^2 e^{x^2}*2x\, dx \underbrace{=} _{ u=g(x)=x^2; g'(x)=2x } \int\limits_1^4 e^u du$$