Ereignisse

Definition

$$\mathbb{S}=\lbrace e_1, ..., e_n \rbrace$$

1. Jede Teilmenge $\mathbb{A}$ von $\mathbb{S}$ beschreibt ein Ereignis des Zufallsexperiments ( $\mathbb{A}\le \mathbb{S}$ oder $\mathbb{A}\subset \mathbb{S}$)
2. Die Menge $P(\mathbb{S})$ aller Ereignisse ist der Ereignisraum des Zufallsexperiements
3. Ein Ereignis $\mathbb{A}$ ist eingetreten, wenn für ein Ergebnis $e_1 \in \mathbb{S}$ auch $e_1 \in \mathbb{A}$ gilt

Anmerkungen

$P(\mathbb{S})$ Potenzmenge $\mathbb{S}$, z.B.: $\mathbb{S}=\lbrace a, b, c \rbrace$

$$\Rightarrow P(\mathbb{S})=\lbrace \lbrace\rbrace, \lbrace a \... ... \rbrace, \lbrace b, c \rbrace, \lbrace a, b, c \rbrace \rbrace$$

$$\vert P(\mathbb{S})\vert=2^{\vert\mathbb{S}\vert}$$

Besondere Ereignisse

• $\mathbb{S}=\lbrace e_1, ..., e_n\rbrace$
• $\mathbb{A}=\lbrace e_1 \rbrace$ Elementarereignis
• $\mathbb{A}=\lbrace \rbrace$ Unmögliches Ereignis
• $\mathbb{A}=\mathbb{S}$ sicheres Ereignis
• $\overline{\mathbb{A}}=\mathbb{S}\setminus \mathbb{A}$ Gegenereignis

Es gilt:

• $\mathbb{A}\cap\overline{\mathbb{A}}=\lbrace \rbrace$
• $\mathbb{A}\cup\overline{\mathbb{A}}=\mathbb{S}$

Beispiele

1. Zu einer Party werden 2 Mädchen und 2 Jungen erwartet, die 5 Gäste treffen nacheinander ein.
   Merkmal: Reihenfolge

   
   

   $$\mathbb{S}=\lbrace MMJJJ; JJJMM; MJJJM; JMJMJ; ... \rbrace; \vert\mathbb{S}\vert=10$$
   
   

   Ereignisse:

   • $\mathbb{A}$: der 1. Gast ist ein Mädchen, $\vert\mathbb{A}\vert=4$
   • $\mathbb{B}$: unter den ersten 3 Gästen sind 2 Mädchen, $\vert\mathbb{B}\vert=3$
   • $\mathbb{C}$: der letzte Gast ist kein Junge, $\vert\mathbb{C}\vert=3$

2. Für die Lieferung von 4 Motoren werden folgende Ereignisse betrachtet:
   • $\mathbb{A}$: mindestens 1 Motor ist defekt
   • $\mathbb{B}$: höchstens 1 Motor ist defekt

   
   

   $$\Rightarrow$$
   
   
   • $\overline{\mathbb{A}}$: kein Motor ist defekt
   • $\overline{\mathbb{B}}$: mindestens 2 Motoren sind defekt

Vierfelder Tafel

1 entspricht Motor defekt, 0 entspricht Motor nicht defekt

=stochastik/vierfelder_tafel_motor

• $\mathbb{A}\cap\mathbb{B}$: genau 1 Motor ist defekt
• $\mathbb{A}\cup\mathbb{B}$: es können 0, 1, 2, 3 oder 4 Motoren defekt sein
• $\overline{\mathbb{A}} \cap \overline{\mathbb{B}}=\lbrace\rbrace$
• $\overline{\mathbb{A}} \cap \overline{\mathbb{B}}$: es können 0, 2, 3 oder 4 Motoren defekt sein

Beschreibung von Ereignissen

1. Durch Aufzählung aller Ergebnisse die zu dem Ereignis gehören
2. In Worten
3. Durch eine Zufallsgröße