Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen (Ergebnissen)

Über theoretische Annahmen

Annahme

Bei einem Zufallsexperiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich

$$\Updownarrow$$

Das Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment

Satz 1

Laplace-Experiment mit $\mathbb{S}=\lbrace e_1, ..., e_i, ..., e_n\rbrace$ und $\vert\mathbb{S}\vert=n$

$$\Rightarrow P(e_i)=\frac{1}{n}$$

Beweis:

1. $P(e_1)=P(e_2)=...=P(e_i)=P(e_n)$
2. $P(e_1)+P(e_2)+...+P(e_i)+...+P(e_n)=1$

Aus 1 und 2 $\Rightarrow n * P(e_i)=1$

$$\Rightarrow P(e_i)=\frac{1}{n}$$

Satz 2

Laplace-Experiment mit $\mathbb{S}=\lbrace e_1, ..., e_i, ..., e_n\rbrace$ und $\vert\mathbb{S}\vert=n$ und $\mathbb{A}\subseteq\mathbb{S}$ mit $\vert\mathbb{A}\vert=k$

$$\Rightarrow P(\mathbb{A})=\frac{\vert\mathbb{A}\vert}{\vert\mathbb{S}\vert}=\frac{k}{n}$$

Beweis:

$$P(\mathbb{A})=\sum\limits_{e_i\in\mathbb{A}}{P(e_i)}= \under... ... \frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n} }_{\mbox{k Summanden}}$$

$$= k\frac{1}{n}$$

Beispiele

1. 1 Würfel, 1 Wurf, Merkmal: Augenzahl $\mathbb{S}=\lbrace 1, ..., 6\rbrace; \vert\mathbb{S}\vert=6$

   
   

   $$\Rightarrow P(1)=P(2)=...=P(6)=\frac{1}{6}$$
   
   

   Stabdiagramm:

   =2in stochastik/stabdiagramm_wuerfel1

   Wahrscheinlichkeitsverteilung ( = Gleichverteilung)

2. 2 Würfel, 1 Wurf, Merkmal: Augensumme $\mathbb{S}=\lbrace 2, ..., 12\rbrace; \vert\mathbb{S}\vert=11$

   ABER! Kein Laplace-Experiment, da $P(2)\neq P(3) \neq ...$

   
   

   $$\Downarrow$$
   
   

   Verfeinerung der Ergebnismenge

   
   

   $$\Uparrow$$
   
   

   Änderung des Merkmals

   
   

   $$\mathbb{S}=\lbrace$$
   
   
   
   
   $$(1;1), (1;2), ..., (1;6),$$
   
   
   
   
   $$...$$
   
   
   
   
   $$(6;1), (6;2), ..., (6;6)$$
   
   
   
   
   $$\rbrace; \vert\mathbb{S}\vert=36$$
   
   

   $P((a_1;a_2))=\frac{1}{36}$, Zufallsgröße $X=k$, mit $k$ = Augensumme

   
   

   $$P(X=2)=\frac{1}{36}$$
   
   
   
   
   $$P(X=3)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$
   
   
   
   
   $$P(X=4)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$
   
   

   
   

   $$...$$
   
   

   
   

   $$P(X=11)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$
   
   
   
   
   $$P(X=12)=\frac{1}{36}$$
   
   

   Stabdiagramm:

   =2in stochastik/stabdiagramm_wuerfel2

   Symetrische Verteilung

Über die relative Häufigkeit bei einer hinreichend großen Anzahl von Durchführungen eines Zufallsexperiments

$n$-Durchführungen eines Zufallsexperiments, $k$-maliges Eintreten des Ereignisses $\mathbb{A}$.

$$\rightarrow k \mbox{ ist die absolute Häufigkeit,}$$

$$\rightarrow \frac{k}{n} \mbox{ ist die relative Häufigkeit des Ereignisses}$$

Computersimulation: Doppelwürfelexperiment mit $n$ Versuchen. $n=10, 100, 1000, 1 000 000$.

Erkenntnis: für sehr große $n$ gilt: $H(\mathbb{A}) \approx P(\mathbb{A})$, wobei $H(\mathbb{A})$ relative Häufigkeit und $P(\mathbb{A})$ Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist.