Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Beispiel 1

Urne: 1R, 3W Kugeln, 2x Ziehen mit Zurücklegen, Merkmal: Farbfolge

$$\mathbb{S}=\lbrace W_1W_2; W_1W_3; ...\rbrace; \vert\mathbb{S}\vert=16$$

$$\mathbb{A}_{WW}=\lbrace W_1W_2; ...\rbrace \Rightarrow P(X=WW)=\frac{9}{16}$$

$$\mathbb{A}_{WR}=\lbrace W_1R; ...\rbrace \Rightarrow P(X=WR)=\frac{3}{16}$$

$$\mathbb{A}_{RW}=\lbrace RW_1; ...\rbrace \Rightarrow P(X=RW)=\frac{3}{16}$$

$$\mathbb{A}_{RR}=\lbrace RR \rbrace \Rightarrow P(X=RR)=\frac{1}{16}$$

Baumdiagramm:

=4in stochastik/baumdiagramm_mehrstufig_0

1. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten an den ``Ästen'' des zugehörigen Pfades.

Beachte! Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen die von einem Verzweigungspunkt ausgehen ist stets 1.

Beispiel 2

Urne: 1R, 3W Kugeln, 2x Ziehen ohne Zurücklegen

$$\mathbb{S}=\lbrace W_1W_2; W_2W_1; ...\rbrace; \vert\mathbb{S}\vert=12$$

$$P(X=WW)=\frac{1}{2}$$

$$P(X=RW)=\frac{1}{4}$$

$$P(X=WR)=\frac{1}{4}$$

$$P(X=RR)=0$$

Baumdiagramm:

=4in stochastik/baumdiagramm_mehrstufig_0_1

Beispiel 3

Urne: 3R, 2W Kugeln; 3x Ziehen ohne Zurücklegen

Baumdiagramm:

=stochastik/baumdiagramm_mehrstufig_1

$X=k_1$ mit $k_1=$ Anzahl der weißen Kugeln, $Y=k2$ mit $k_2=$ Anzahl der roten Kugeln.

Gesucht: $P(X=1), P(X=2), P(Y\le 2), P(Y=0)$.

$$P(X=1)=\frac{1}{5}+\frac{3}{15}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$$

$$P(X=2)=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{3}{10}$$

$$P(Y\le 2)=\frac{9}{10}$$

$$P(Y=0)=0$$

2. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die dieses Ereignis bilden.