Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Einleitung

Bei vielen Untersuchungen (Stichproben) spielen Zufallsexperimente mit nur zwei Ergebnissen eine Rolle: z.B. Münzwurf (Kopf, Zahl), Würfel (6, nicht 6), Qualitätskontrolle (defekt, nicht defekt).

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Treffer (T) und Niete (N)

Definitionen

1. Ein Zufallsexperiment mit $\mathbb{S}=\lbrace T, N\rbrace$, also $\vert\mathbb{S}\vert=2$, ist ein Bernoulli-Experiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$.

2. Eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ ist ein Zufallsexperiment, das aus $n$ unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit der selben Trefferwahrscheinlichkeit $p$ besteht.

Beispiele

Urne:

N Kugeln $\rightarrow$ S schwarze Kugeln $\rightarrow$ (N-S) weiße Kugeln
n-mal Ziehen mit Zurücklegen

Ereignis:

X=k mit k=Anzahl der Treffer (= schwarze Kugel)
$P(X=k)$ Wahrscheinlichkeit für k Treffer.
Trefferwahrscheinlichkeit $p=\frac{S}{N}$, Wahrscheinlichkeit für Niete $\frac{N-S}{N}=1-p$

Baumdiagramm für $n=3$

=3in stochastik/baumdiagramm_bernoulli_1

$\Rightarrow$

Verallgemeinerung

$$n\in\mathbb{N}; 0\le k \le n$$

$$P(X=k)={n \choose k}p^k * (1-p)^{n-k}$$

``Formel von Bernoulli''

Erläuterungen:

• $p^k*(1-p)^{n-k}$ Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit k Treffern
• ${n \choose k}$ Anzahl der Pfade mit k Treffern
• ${n \choose k}p^k*(1-p)^{n-k}$ Wahrscheinlichkeit aller Pfade mit k Treffern

Definition Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X=k)$ mit $k\in\lbrace 0;1;2;...;n\rbrace$ einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferzahl $k$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist eine Binomialverteilung $B_{n;p}(k)$ mit den Parametern $n$, $p$ und $k$.

Kurz:

$P(X=k) = B_{n;p}(k) = {n \choose k}p^k*(1-p)^{n-k}$

Definition Summierte Binomialverteilung

$F_{n;p}(k) = P(X\le k) = B_{n;p}(0)+ B_{n;p}(1) + ... + B_{n;p}(k)$ heißt summierte Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$.

Anmerkung:

$B_{n;p}$ und $F_{n;p}$ werden in Mathebüchern oft als Tabellen vorgegeben!

Wichtig:

Die summierte Wahrscheinlichkeit eigent sich besonders dann, wenn die k-Werte in einem zusammenhängenden Bereich liegen:

$0 \le k \le n$:

$$P(X\le k)=F_{n;p}(k)$$

$0 \le i \le k \le n$:

$$P(X\ge k)=1-P(X\le (k-1)) = 1-F_{n;p}(k-1)$$

$$P(X>k)=1-F_{n;p}(k)$$

$0\le k_1 < k_2 \le n$:

$$P(k_1 \le X \le k_2)=P(X\le k_2)-P(X<k_1)=F_{n;p}(k_2)-F_{n;p}(k_1-1)$$

$$P(k_1 < X \le k_2) = P(X\le k_2)-P(X\le k_1)= F_{n;p}(k_2) - F_{n;p}(k_1)$$