Erwartungswert einer Zufallsgrößen

Beispiel: Glücksspiel

Spielregeln

1 Spieler zahlt EUR 1 Einsatz und wirft einen Laplace-Würfel 3 mal. Erscheint dabei eine 6 ein-, zwei- oder dreimal, so erhält er seinen Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von EUR 1, EUR 2 bzw. EUR 3. Erscheint keine 6 ist der Einsatz verloren. Ist das Spiel ``fair''?

1. Zufallsexperiment

(100 mal spielen)

Ereignis 0x6 1x6 2x6 3x6 


Anzahl 		 54 		 36 		 9 		 1   


Gewinn 		 -1 		 1 		 2 		 3

Ereignis $X=x_i$ mit $x_i$ = Gewinn, $x_i \in \lbrace -1;1;2;3 \rbrace$

(arithmetischer Mittelwert von x: $\overline{x}=\frac{54}{100}*(-1)+\frac{30}{100}*1+\frac{9}{100}*2+\frac{1}{100}*3 = 0,03\mbox{ (EUR)}$)

Wichtig: Der Mittelwert bezieht sich auf die Vergangenheit, denn er verwendet die Informationen, die in einer Stichprobe (Zufallsexperiment) tatsächlich aufgetreten sind.

2. Berechnung des Erwartungswertes

$X=x_i$ mit $x_i$ = Gewinn, $x_i \in \lbrace -1;1;2;3 \rbrace$

Definition: $X$ ist eine Zufallsgröße mit $X=x_i$ und $x_i \in \lbrace x_1, ..., x_n\rbrace$

$$E(X)=\sum\limits_{i=1}^n(x_i*P(X=x_i))=x_1*P(X=x_1)+...+x_n*P(X=x_n)$$

ist der Erwartungswert von $X$, kurz: $E(X)=µ$

Wichtig: Der Erwartungswert bezieht sich auf die Zukunft, denn er gibt an, welcher Mittelwert von $x$ bei einem sehr großen Stichprobenumfang oder aufgrund theoretischer Betrachtungen zu erwarten ist.

Zurück zum Glücksspiel:

Ereignis $X=x_i$ -1 		 1 		 2 		 3   

$P(X=x_i)$ $\frac{125}{216}$ $\frac{25}{72}$ $\frac{5}{72}$ $\frac{1}{216}$ 

$$\Rightarrow E(X)=\sum\limits_{i=1}^4(x_i * P(X=x_i)) \approx -0,0789$$

$\Rightarrow E(X) < 0 \Rightarrow$ Das Spiel ist nicht fair, d.h. es lohnt sich für den Spieler auf lange Sicht nicht!

Wann ist ein Spiel fair

Wenn gilt $E(X)=0$

Satz zum Erwartungswert

$X$ ist eine binomial verteilte Zufallsgröße mit den Parametern $n$ und $p$

$$\Rightarrow E(X)=np$$